Rumus Lengkap Trigonometri SMA

Trigonometri

Pengertian dan definisi Trigonometri. Trigonometri adalah bagian dari ilmu matematika yang mempelajari tentang hubungan antara sisi dan sudut suatu segitiga serta fungsi dasar yang muncul dari relasi tersebut. Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga siku-siku. Bagi para siswa, trigonometri identik dengan fungsi trigonometri yang meliputi sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec), secan (sec), dan cotangen (cotan) yang kesemuanya merupakan cara untuk menentukan suatu sisi sebuah segitiga atau sudut yang terbentuk dari dua buah sisi dalam sebuah segitiga.

Trigonometri merupakan ilmu matematika yang sangat penting dalam kehidupan. Aplikasi ilmu trigonometri dalam kehidupan mencangkup segala bidang seperti astronomi, geografi, teori musik, elektronik, ekonomi, medical, teknik, dan masih banyak lagi. Dengan trigonometri kita bisa mengukur jarak suatu bintang diangkasa tanpa harus pergi kesana. Dengan trigonometri kita bisa mengukur sudut ketinggian tebing tanpa harus memanjatnya. Bisa mengukur lebar suatu sungai tanpa harus menyeberanginya. Itulah manfaat dari mempelajari trigonometri dalam kehidupan sehari-hari.

Trigonometri adalah sebuah konsep. Hal pertama yang perlu dimengerti dalam memahami konsep dasar trigonometri adalah mengetahui, mengerti dan memahami bentuk dan rumus-rumus sebuah segitiga, terutama segitiga siku-siku. Pada dasarnya sebuah segitiga selalu terdiri dari 3 sisi, yaitu sisi miring, sisi samping, dan sisi depan. Dan tiga buah sudut yaitu sudut tegak lurus, sudut depan dan sudut samping. Dimana jika di tambahkan jumlah sudut sebuah segitiga haruslah 180 derajat.

Tujuan utama mempelajari trigonometri dalam ilmu matematika adalah untuk menemukan nilai sebuah sudut atau panjang sebuah sisi sebuah segitiga. Untuk tujuan tersebut diatas maka trigonometri memiliki 2 nilai fungsi, yaitu:

Nilai fungsi Trigonometri

1. Nilai fungsi trigonometri unuk sudut istimewa

Sudut istimewa disini adalah sudut yang besarnya 0, 30, 45, 60, 90 derajat. Untuk menentukan nilai fungsi sudut istimewa digunakan konsep geometri.

2. Nilai fungsi trigonometri untuk sudut lainnya

Untuk menentukan nilai fungsi trigonometri sudut tidak istimewa biasanya menggunakan tabel atau scientific kalkulator yang dilengkapi dengan fungsi trigonometri.

Identitas Trigonometri

Dari nilai fungsi trigonometri tersebut kemudian diperoleh identitas trigonometri. Identitas trigonometri adalah suatu persamaan dari fungsi trigonometri yang bernilai benar untuk setiap sudutnya dengan kedua sisi ruasnya terdefinisi. Identitas trigonometri terbagi 3, yaitu Identitas Kebalikan, Identitas Perbandingan dan Identitas Phytagoras yang masing-masing memiliki fungsi dasar, yaitu:

Identitas Kebalikan	Identitas Perbandingan	Identitas Phytagoras
Cosec A = 1/ sin A Sec A = 1/cos A Cot A = 1/ tan A	Tan A = Sin A/ Cos A Cot A = Cos A / Sin A	Cos² A + Sin² A = 1 1 + tan² A = Sec² A 1 + Cot² A = Cosec² A

Grafik Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri diatas dapat di proyeksikan kedalam sebuah grafik. Grafik fungsi trigonometri digunakan untuk mendeskripsikan fenomena alam seperti gerak gelombang, gerak harmonik sederhana, dan fenomena kelistrikan. Grafik fungsi trigonometri meliputi: grafik sinus, grafik cosinus dan grafik tangen.

Sebuah cabang matematika yang kurang peminatnya karena keribetan dan tingkat kesulitan yang lumayan tinggi yaitu trigonometri. Jika dibandingkan dengan cabang matematika yang lain, trigonometri tentunya agak sulit kalo dihubungkan dengan amalan dunia nyata dan siswa lebih memilih menghafalkan berbagai jenis rumus-rumus trigonometri.
Bagi para penyuka bidang matematika, cabang matematika yang satu ini tidak menjadi masalah yang besar dan membuat ruwet. Akan tetapi, malah justru menjadi semacam permainan yang mengasyikkan untuk di pelajari dan ditaklukan bukan ditakutkan. Tapi, memang harus kembali pada karakter setiap siswa yang tentunya berbeda-beda. Ada yang bagus dalam penggunaan otak kiri dan ada juga yang lebih berkembang otak kanannya.
Ada siswa yang mengeluh tentang kesulitan pada trigonometri. Yaitu, pada saat mengubah nilai trigonometri sudut istimewa di berbagai kuadran. Ini karena terdapat begitu banyaknya rumus pada trigonometri yang menjadi faktor utama kesulitan para siswatersebut. Mereka cenderung menghafal rumus-rumus tersebut. Coba saja bayangkan, ada sekitar 48 rumus trigonometri yang haris diingat, sangat banyak bukan? Setelah menghafalnya dengan susah payah, belum mereka dapat menggunakannya dalam soal-soal trigonometri yang diberikan.
Ribet banget, ya? Begitulah kalau belajar matematika dengan menghafalnya. Bukan dengan memahami konsepnya. Satu-satunya cara agar dapat belajar matematika, khususnya rumus trigonometri dengan mudah adalah dengan memahami rumusnya.
Tahukah kamu, bahwa rumus trigonometri yang konon banyak itu ternyata merupakan hasil penurunan dari beberapa rumus saja? Jika telah mengerti rumus dasar dan teorinya, tidak perlu menghafalkan puluhan rumus itu sampai kepala rasanya mau pecah. Tidak percaya? Coba saja perhatikan penguraian rumus-rumus trigonometri berikut.

Mengurai Dasar-Dasar Rumus Trigonometri

Pertama mari kita uraikan pengertian trigonometri. Adalah metode dalam perhitungan dalam penyelesaian masalah yang kaitannya dengan perbandingan-perbandingan pada bangun geometri, terkhusus untuk bangun yang bentuknya segitiga. Trigonometri juga merupakan cabang ilmu matematika yang berhubungan dengan besar sudut, yang sangat bermanfaat untuk mengitung ketinggian suatu bentuk bangunan atau tempat tertentu tanpa harus mengukur secara langsung. Jadi, lebih praktis dan efesien.
Sebagai cabang ilmu matematika yang mempelajari perbandingan ukuran sisi suatu segitiga, jika ditinjau dari salah satu sudut yang ada pada sebuah segitiga, maka memiliki beberapa landasan teori atau dasar-dasar tertentu. Dengan memahami teori dasar ini, kita dapat memahami, menggunakan, juga mengembangkan teori tersebut menjadi rumus-rumus berikut.

Rumus penjumlahan sudut
Rumus trigonometri sudut pertengahan
Rumus trigonometri sudut rangkap
Rumus perkalian sinus dan cosinus
Rumus penjumlahan sinus dan cosinus.

1. Rumus dasar trigonometri

Rumus-rumus dasar trigonometri adalah sebagai berikut.

sin α = y / r
cos α = x / r
tan α = y / x
sec α = 1 / cos α = r / x
cosec α = 1 / sin α = r / y
cotan α = 1/ tan α = x / y

Dan untuk menghafal rumus trigonometri yang terdiri dari sinus, cosinus, dan tangen hanya dengan dengan memperhatikan segitiga siku-siku tersebut, maka akan muncul tiga istilah berikut:

sin = demi, yaitu sin = (sisi depan sudut) / (sisi miring)
cos = sami, yaitu cos = (sisi samping sudut) / (sisi miring)
tan = desa, yaitu tan = (sisi depan sudut) / (sisi samping sudut)

2. Sudut istimewa

Ketika kita akan menentukan nilai dari suatu fungsi trigonometri, ada banyak cara yang dapat digunakan. Di antaranya dengan menggunakan tabel trigonometri, menggunakan kalkulator, atau menggunakan sudut istimewa.
Penggunaan tabel trigonometri sangat berguna saat menyelesaikan soal dengan sudut sebarang antara 0,00 derajat sampai dengan 90,00 derajat. Jadi, dengan tabel trigonometri tersebut, dapat dicari nilai trigonometri untuk sudut 37,6 derajat dengan ketelitian hasil yang lumayan tinggi. Adapun kalkulator bisa berguna ketika kita memeriksa hasil yang telah diperoleh apakah sudah benar atau keliru.

3. Konversi sudut

Apabila nilai sudutnya berada di luar kisaran 0 derajat sampai dengan 90 derajat maka kita bisa menyederhanakan dengan aturan berikut:

Pada kisaran 90 derajat sampai dengan 180 derajat menjadi:

α = (180 – α)

Pada kisaran 180 derajat sampai dengan 270 derajat menjadi:

α = (α – 180)

Pada kisaran 270 derajat sampai dengan 360 derajat menjadi:

α = (360 – α)

4. Nilai perbandingan trigonometri berdasarkan kuadran

Jika kita sudah menyederhanakan sudut, kita juga harus melihat sifat fungsi terhadap kuadran posisi di mana ia berada.

Pada kuadran I (0 derajat sampai dengan 90 derajat): semua perbandingan trigonometri (sin, cos, tan, cosec, sec, cotan) bernilai positif.
pada kuadran II (90 derajat sampai dengan 180 derajat): hanya nilai sin dan cosec yang bernilai positif, yang lain negatif.
pada kuadran III (180 derajat sampai dengan 270 derajat): hanya nilai tan dan cotan yang bernilai positif, yang lain negatif.
pada kuadran IV (270 derajat sampai dengan 360 derajat): hanya nilai cos dan secan yang bernilai positif, yang lain negatif.

5. Rumus trigonometri penjumlahan dan pengurangan dua sudut

Rumus trigonometri untuk penjumlahan dua sudut adalah sebagai berikut.

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
tan (α + β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α x tan β)

Adapun rumus trigonometri untuk pengurangan dua sudut adalah sebagai berikut.

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
tan (α – β) = (tan α – tan β) / (1 + tan α tan β)

Sebenarnya, rumus untuk penjumlahan dan pengurangan dua sudut tersebut mirip. Hanya saja, berbeda pada tanda plus dan minusnya. Coba saja perhatikan kembali kedua bentuk rumus tersebut. Jadi, kamu hanya perlu mengingat 1 bentuk saja, misalnya rumus penjumlahan. Dengan sendirinya, rumus untuk pengurangan jadi ingat juga.

6. Rumus trigonometri sudut rangkap

Untuk memahami rumus trigonometri ini, sebaiknya ingat kembali rumus penjumlahan sudut trigonometri berikut.

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
tan (α + β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α x tan β)

Ini karena bentuk rumus tersebut mirip dengan bentuk rumus trigonometri sudut rangkap. Hanya saja, nilai kedua sudutnya sama, yaitu α = β. Jadi, kita bisa mengganti nilai β menjadi nilai α. Sehingga didapati rumus untuk sudut rangkap berikut.

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α

sin (2 α) = 2 sin α cos α

cos (α + α) = cos α cos β – sin α sin α

cos (2 α) = cos² α – sin² α

tan (α + α) = (tan α + tan α) / (1 – tan α x tan α)

tan (2 α) = (2 tan α) / (1 – tan² α)

7. Rumus trigonometri sudut pertengahan

Kalo kita sudah mendapat rumus trigonometri untuk sudut rangkap yang didapat dari pengembangan rumus penjumlahan sudut, selanjutnya kita kembangkan rumus trigonometri sudut rangkap tersebut menjadi rumus sudut pertengahan. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

sin ½α = plus minus akar dari [(1 – cos α) / 2]
cos ½α = plus minus akar dari [(1 + cos α) / 2]
tan ½α = plus minus akar dari [(1 – cos α) / (1 + cos α)]
tan ½α = plus minus (sin α) / (1 + cos α)
tan ½α = plus minus (1 – cos α) / (sin α)

8. Rumus trigonometri perkalian sinus dan kosinus

Rumus trigonometri perkalian sinus dan kosinus ini merupakan pengembangan dari rumus penjumlahan sudut dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi. Hasilnya akan diperoleh rumus perkalian berikut.

sin α cos β = ½ {sin (α + β) + sin (α – β)}
cos α sin β = ½ {sin (α + β) – sin (α – β)}
cos α cos β = ½ {cos (α + β) + cos (α – β)}
sin α sin β = – ½ {cos (α + β) – cos (α – β)}

9. Rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus

Dasar rumus trigonometri ini beda dengan rumus penjumlahan sudut. Ini karena yang dijumlahkan bukan sudutnya, tetapi fungsi trigonometrinya. Rumus ini dapat dikembangkan dari rumus perkalian sinus dan cosinus. Hasilnya adalah rumus-rumus berikut.

sin α + sin β = 2 sin ½ (α + β) cos ½ (α – β)
sin α – sin β = 2 cos ½ (α + β) sin ½ (α – β)
cos α + cos β = 2 cos ½ (α + β) cos ½ (α – β)
cos α – cos β = – 2 sin ½ (α + β) sin ½ (α – β)

Kiat Bijak Mempelajari Rumus Trigonometri

Alangkah baiknya jika semua rumus trigonometri itu bukanlah dihafal. Ini karena saking banyaknya dan kemungkinan untuk bisa menghafal semua rumus tersebut akan membuat kepala cukup panas. Tapi dengan memahami seluk-beluk teori trigonometri tersebut, pada akhirnya kita bisa memahami semua rumus trigonometri secara keseluruhan. Untuk membantu memahami trigonometri, kamu bisa menggunakan bantuan gambar-gambar.

Bagi para siswa yang sedang mempelajari dasar-dasar trigonometri, ada baiknya jangan melupakann metode yang diberikan oleh guru dan tetap mempelajari setiap rumus trigonometri yang terdapat pada buku pelajaran. Dan jangan lupa terus berlatih dengan menjawab soal-soal trigonometri yang ada di buku pelajaran.
Karena sesungguhnya cabang matematika yang satu ini sangat bermanfaat ketika kita aplikasikan di kehidupan nyata. Dan sangat berguna untuk cabang keilmuan lain, seperti arsitektur, planologi, ilmu lanskap, dan lainnya. Sehingga segala bentuk keilmuan matematika sangat berguna menjadi terapan bagi cabang keilmuan yang lain. Seperti rumus trigonometri yang secara spesifik mempelajari nilai sudut dan kemiringan.