Contoh Soal Logika Matematika

Contoh Soal Logika Matematika

Pengertian
Kalimat yang masuk akal dan tidak pernah diluar pemikiran seseorang.

Kalimat logika ada dua :

Kalimat terbuka :Kalimat yang belum bisa ditentukan nilai kebenarannya.
Contoh :
a)    x + 3 = 5                     (B/S)
b)    Besok akan turun hujan(B/S)
c)     Besok akan mendung   (B/S)
·       
Kalimat tertutup:Kalimat yang mempunyai kebenaran pasti, benar atau salah.
Contoh :
a)     4+3 = 8                                      (S)
b)    Matahari terbit dari timur             (B)
c)     Jakarta adalah ibu kota Indonesia(B)
·       
Negasi atau Ingkaran :adalah pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran berlawanan dengan pernyataan semula.
Notasi : Jika pernyataan = p maka negasinya =  ~p
Contoh :P = papan tulis berwarna putih
              ~P = papan tulis tidak berwarna putih
              P = katak hidup di air
               ~P= tidak benar katak hidup di air
              P = ayah pergi ke kantor
              ~P = ayah tidak pergi ke kantor
·       
Pernyataan majemuk :Gabungan dari dua pernyataan tunggal atau lebih yang dihubungkan dengan kata hubung " dan", "atau", "jika...maka..." dan " jika dan hanya jika".

1.     Konjungsi ("dan")("tetapi")
Notasi : p ʌq ( dibaca p dan q )
Nilai kebenaran konjungsi
P Q P ʌQ
B B  B
B S S
S B S
S S S

2.     Disjungsi (" atau ")
Notasi : pvq ( p atau q )
Nilai kebenaran disjungsi
P Q PVQ
B B B
B S B
S B B
S S S

Contoh: tentukan nilai kebenaran dari
1).   Sapi berkaki empat dan kuda bisa terbang
Sapi berkaki empat : B
Dan:  ʌ
Kuda bisa terbang : S
Jadi
: B  ʌ S = S

2).   Palu ibu kota Sumatra Barat atau semarang ibukota Jawa Tengah
Palu ibukota Sumatra Barat : S
Atau : v
Semarang ibukota Jawa Tengah : B
Jadi
: S V B = B

3.     Implikasi ("jika...maka...")
Notasi : p → q (jika p maka q)
P= sebab (Anteseden)
Q= akibat(Konsekwen)
Nilaikebenaran :
P Q P→Q
B B B
B S S
S B B
S S B

4.     Bi~implikasi (jika dan hanya jika)
Notasi : p ↔ q ( p jika dan hanya jika q )
Nilai kebenaran bi ~implikasi :
P Q P↔Q
B B B
B S S
S B S
S S B

·      
Konvers, Invers dan Kontraposisi
Implikasi = p → q ( jika p maka q )
Konvers = q → p
Invers =  ~p →  ~q
Kontraposisi =  ~q →  ~p

Contoh :implikasi = jika Ana rajin latihan maka nilainya bagus
Tentukan

·        Konvers
·        Invers
·        kontraposisi
Penyelesaian :         
                               i.            konvers       : jika nilainya bagus maka Ana rajiInvers
                             ii.            invers          : jika Ana tidak rajin maka Ana nilai nya tidak bagus
                          iii.            kontraposisi : jika nilainya tidak bagus maka Ana tidak rajin
·        Pernyataan
Berkuantor
Dua jenis kuantor
1.     Kuantor
universal " "
( semua, seluruh, setiap )
Contoh
:semua siswa X ~C sudah mandi
2.     Kuantor
Eksistensial "
( sebagian, beberapa, ada, terdapat )
Contoh
:ada ikan bisa terbang

-         Ingkaran
pernyataan berkuantor
 p adalah q ingkarannya  p tidak q
 p adalah q ingkaran nya  p tidak q
Contoh :
 p = semua siswa X ~C
sudah mandi
  ~p = ada siswa X ~C belum mandi
P = Ada ikan bisa terbang
  ~p = Semua ikan tidak bisa terbang
·        Ingkaran
Pernyataan Majemuk
1.     P ʌ q ingkaran nya –p v –q
2.     P v q ingkarannya –p ʌ  ~p
3.     P → q ingkaran nya p  ʌ  ~q
4.     P q ingkaran nya ( p ʌ  ~q ) v ( q  ʌ  ~p )
Contoh :
P
= hari hujan dan berangin
 ~p = hari tidak hujan atau tidak berangin

·       Ekuivalensi /kesetaraan pernyataan
          pq ≡  ~q↔ ~p
          pq ≡  ~p v q
contoh :
buatlah
penyataan yang senilai dengan jika Ali senang maka Ali tertawa
 ~jika Ali tidak tertawa maka Ali tidak senang
 ~jika Ali tidak senang atau Ali tertawa


·       Penarikan kesimpulan
2
pernyataan awal = premis
1
pernyataan baru = konklusi
P1.....
P2.....
K.....
Aturan
penarikan kesimpulan
1.     Modus
Ponens
2.     Modus
Tollens
3.     Silogisme

1.)  Modus
Ponens
P1=
p→q
P2=
p

 
K=
P
2.)  Modus
Tollens
P1=
p→q
P2=  ~q
                           
K=
~p
3.)  Silogisme
P1=
p→q
P2=
q→r
                  
K=
p→r

Contoh
:
Tentukan
kesimpulan dari premis berikut
a.     P1=
jika hari hujan maka Ali terlambat
P2= Ali tidak terlambat
                                                                          
K=hari tidak hujan
b.     P1=
jika Ani rajin maka Ani pintar
P2= jika Ani pintar
                                                                  
K= jika Ani rajin maka Ani di sayang guru
Pembuktian dalam matematika
1.     Bukti langsung
Menggunakan
implikasi  p→q
2.     Bukti tidak langsung
Menggunakan
kontradiksi dan kontraposisi   ~p→ ~q



Opini / pendapat :
Materi
logika matematika sebenarnya tidak terlalu sulit namun ada beberapa materi yang
kurang bisa dipahami tentang ingkaran berkuantor dan ekuivalensi juga materi
negasi pernyataan majemuk karena  terkadang tidak sesuai dengan materi yang disampaikan.

Soal :

1.     Ingkaran dari (p ʌq) →r adalah
Penyelesaian :
(p ʌq) → r ingkaran nya (~p v~q)  ʌ  ~r
Adalah (~pv~q)ʌ~r

2.     Penarikan kesimpulan dari premis ~premis
P v q
      ~q
             Adalah....
Penyelesaian :
P v q ≡  ~p → q

 ~p
→ q
         ~q
 P

3.     Diketahui premis ~premis berikut
P1 = jika x²<4 maka  ~2<x<2
P2 = x< ~2 atau x>2
p → q
      ~q
~ p
Kesimpulan dari kedua premis tersebut
adalah x²>4

4.     Kontraposisi dari ( ~p ʌq)→ ( ~pvq)
Penyelesaian :
Jika ~p ʌq diumpamakan p
Jika ~pvq diumpamakan q
Maka kontraposisinya ~q→~p =
(p ʌ~q) →(pv~q)
Adalah (p ʌ ~q) → ( p ʌ ~q)

5.     Kontraposisi dari pertanyaan majemuk p →(pv
~q)
Penyelesaian :
P diumpamakan p
(pv~q) diumpamakan q
Maka kontraposisinya ~q→~p =
(~pʌq)→~p
Adalah ( ~p ʌq) → ~p

6.     Ingkaran dari ( p ʌq ) →r
Penyelesaian :
pʌq diumpamakan p
r diumpamakan q
maka ingkaran nya( ~pv~q)ʌr
jika (~pv~q) dumpamakan p
jika r diumpamakan q
maka ingkarannya ~pʌ~r  =  (~pv~q)ʌ~r
Adalah ( ~p v –q ) ʌ ~r

Share :