LOGIKA MATEMATIKA

Materi Logika matematika diajarkan di bangku SMA. Materi matematika bab logika ini termasuk gampang-gampang susah. Yang penalarannya bagus, bahkan tanpa rumus pun sebenarnya bisa memahaminya.

A. Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus keduanya.

Contoh : -Jakarta adalah ibu kota Indonesia

-3+4=7

-ikan hiu termasuk mamalia

1 . kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenaranya.

Contoh : 2x+3=9

5+n adalah bilangan prima

2. Inkaran dari pernytaan

Inkaran adalh suatu negasi dari suaru pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan semula.

Contoh : p = ayah pergi ke kantor

~p = ayah tidak pergi ke kantor

B. Pernyataan berkuantor

Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas.

Ada 2 macam kuntor :

(1). Kuantor universal

Dalam penyataan berkuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap.

Contoh : x R. ≥ 0 dibaca : untuk setiap x R, berlaku ≥ 0

Semua ikan bernafas dengan insang.

(2). Kuantor ekstistensial

Dalam pernyataan kuantor eksistensial terdapat unkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian.

Contoh : beberapaikan bernafas dengan paru-paru.

INGKARAN DARI PERNYATAAN BERKUANTOR

ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial dan sebaliknya, ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal.

Contoh : p= semua ikan bernafas dengan insang

~p= ada ikan yang tidak bernafas dengan insang

P= beberapa siswa SMA malas belajar

~p= semua siswa SMA tidak malas belajar.

C. Pernyataan majemuk

Pernyataan majemuk adalh gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang di sebut komponene dari pernyataan majemuk.

Ada 4 pernyataan majemuk :

a. Konjungsi ("dan")

Notasinya : p^q ( di baca p dan q)

Table kebenaran konjungsi

p	q	P^q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

b. Disjungsi ("atau")

Notasinya : p v q

Table kebenaran disjungsi

p	q	pvq
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

c. Implikasi ("jika….maka….")

Notasinya : p →q (di baca jika p maka q)

Table kebenaran implikasi

p	q	p→q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

d. Bi-implikasi ("….jika dan hanya jika ….")

Notasinya : p↔q (di baca p jika dan hanya jika q)

Table kebenaran bi-implikasi

p	q	p↔q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Contoh : tentukan nilai kebenaran dari

(a) dan

(b) Tugu monas terletak di Jakarta atau tugu pahlawan di Jakarta

(d) Matahari terbit dari utara jika dan hanya jika ayam jantan dapat bertelur

Jawaban :

(a) P : bernilai salah

Q : bernilai benar

P^q : dan bernilai salah

(b) P : Tugu monas terletak di Jakarta bernilai benar

Q : tugu pahlawan di Jakarta bernilai salah

P v q : Tugu monas terletak di Jakarta atau tugu pahlawan di Jakarta bernilai benar

Q : ayam menyusui bernilai salah

p→q : Jika 3+4=6 maka ayam menyusui bernilai benar

(d) P : Matahari terbit dari utara bernilai salah

Q : jika ayam jantan dapat bertelur bernilai salah

p↔q : Matahari terbit dari utara jika dan hanya jika ayam jantan dapat bertelur bernilai benar

D. Konvers, invers, dan kontraposisi

Dari implikasi p→q dapat di bentuk implikasi baru :

q→p di sebut konvers dari implikasi semula

~p→~q di sebut invers dari implikasi semula

~p→~q di sebut kontraposisi dari implikasi semula

Contoh : p = Anisa penyanyi

Q = Anisa seniman

Implikasi p→q : jika Anisa penyanyi maka Anisa seniman

Konvers q→p : jika anisa aeniman maka ia penyanyi

Invers ~p→~q : jika anisa bukan penyanyi maka ia bukan seniman

Kontrposisi ~p→~q : jika anisa bukan seniman maka ia bukan penyanyi

E. Negasi dari pernyataan majemuk

~p v q ≡ ~p ^ ~q

~p ^ q ≡ ~p v ~q

~p →q ≡ p ^ ~q

~p↔q ≡ (p^~q) v (q^~p)

Contoh :

a. Negasi dari 5+2=8 dan adik naik kelas adalah 5+2=8 atau adik tidak naik kelas

b. Negasi dari 9 adalah bilangan ganjil atau batu termasuk benda padat adalah 9 adalah bilangan genap dan batu tidak termasuk benda padat

c. Negasi dari jika adik belajar maka ia pandai adalah adik belajar dan ia tidak pandai

d. Negasi dari 4+5√3>10 jika dan hanya jika √3>2 adlah 4+5√3>10 dan √3>2 atau √3>2 dan 4+5√3<10

F. Penarikan kesimpulan

Suatu argument terdiri dari 2 kelompok pernyataan, yaitu kelompok yang terdiri dari beberapa pernyataan awal dan disebut prwemis serta kelompok yang terdiri dari satu pernyataa dan disebut konklusi.

Ada 3 dasar penarikan kesimpiulan yaitu :

1. Modus ponens

P1 = p→q

P2 = p

K = q

2. Modus tollens

P1 = p→q

P2 = ~q

K = ~p

3. Silogisme

P1 = p→q

P2 = q→r

K = p→r

Contoh : dari premis-premis berikut tentukan konklusinya sehingga argumenya sah.

a. P1 = jika ibu sakit maka ibu nminum obat

P2 = ibu sakit

b. P1 = jika mesinya rusak maka mobil itu tidak dapat bergerak

P2 = mobil itu dpata bergerak

c. P1 = jika BBM naik maka ongkos bis juga naik

P2 = jika ongkos bis naik maka uang saku naik

Jawaban :

a. P1 = p→q

P2 = p

K = q

b. P1 = p→q

P2 = ~q

K = ~p

c. P1 = p→q

P2 = q→r

K = p→r

G. Pembuktian dalam matematika

1. Bukti langsung

Dengan membuktikan kebenaran suatu sifat atau dalil yang baru dengan memprlihatkan bahwa dalil atau sifat baru itu akibat pernyataan lain yang telah di terima kebenaranya.

2. Bukti tidak lansung

Untuk membuktikan kebenaran suatu sifat atau dalil dengan mengandaikan

bahwabahwbahwa yang harus dibuktikan

bahwa yang harus di buktikan adalah salah sedemikian sehingga diperoleh suatu kontradiksi. Karena kontradiksi tak boleh terjadi, maka pengandaian salah. Jadi yang harus dibuktikanh yang benar.

SOAL DAN JAWABAN

1. Jika adi rajin latihan maka nilainya bagus

Tentukan inversnya….

Jawaban :

Jika adi tidak rajin latihan maka nilainya tidak bagus

2. Buatlah table kebenaran dari ~p→(p^q)

Jawaban :

P	Q	~p	~q	~P→q	~P→(p^q)
B	B	S	S	B	B
B	S	S	B	B	B
S	B	B	S	B	B
S	S	B	B	S	B

3. Tentukan ingkaran pernyataan berikut : siswa semua sudah berbaris

Jawaban :

Ada siswa belum berbaris

4. Tentukan negasi dari :

Rana gadis cantik dan pintar

Jawaban :

Rana gadis tidak cantik dan tidak pintar

5. Beri contoh kalimat tertutup

Jawaban :

Matahari terbit dari timur.

Opini :

Mempelajari logika matematika membingungkan, tetapi bisa mengetahui cara-cara penyelesaian matematika. Sekian dan Terimakasih.

Merdeka Belajar

LOGIKA MATEMATIKA