Contoh Soal Sistem Persamaan Linier (SPLDV)

Contoh Soal Sistem Persamaan Linier (SPLDV) | GuruSMA.id
Selamat datang para pecinta matematika. Sebelum kita belajar lebih lanjut tentang contoh soal sistem persamaan linier dua variabel beserta pembahasannya, ada baiknya kita flashback dulu mengenai
definisi dari persamaan linier.

Pengertian Sistem Persamaan Linier

Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal dengan derajat tertinggi satu. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.

Berikut ini contoh grafik dari suatu persamaan linear dengan nilai gradien (m)=0,5 dan b=2 (garis merah)

Contoh Soal Sistem Persamaan Linier (SPLDV)

Dalam hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, dan konstanta b merupakan titik potong garis dengan sumbu-y. Bentuk persamaan lainnya seperti x², x^1/2, dan xy bukanlah persamaan linear karena ketika digambarkan bukan merupakan sebuah garis lurus.

Bentuk umum untuk persamaan linear adalah:

y = mx + b

Sistem Persamaan Linier adalah gabungan dua atau lebih persamaan linier yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama.

Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier

Ada beberapa cara yang dapat digunakan dalam menyelesaikan sistem permasalahan persamaan linier, diantaranya adalah:

Metode Substitusi
Metode Eliminasi
Metode Gabungan ( eliminasi dan substitusi )
Metode grafik

Berikut adalah penjelasan lebih rinci mengenai keempat teknik penyelesaian persamaan linier di atas beserta contoh soal dan pembahasannya:

1. Metode Eliminasi untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier

Cara eliminasi sesuai dengan arti kata eliminasi yaitu menghilangkan yaitu dengan cara menghilangkan salah satu variabel sehingga tertinggal persamaan linier satu variabel saja.

Contoh Soal Sistem Persamaan Linier (SPLDV)

Carilah nilai x dan y dari persamaan berikut dengan cara eliminasi

4x + 3y = 34
5x + y = 37

Jawab :

Pertama, kita akan mencari nilai variabel x. Untuk mengeliminasi variabel x, maka persamaan nomer 1 (atas) dikalikan dengan 1 dan persamaan nomor dua (bawah) kita kalikan dengan 3. Kedua persamaan dikurangkan agar variabel y hilang.

4x + 3y = 34  | X1  →  4x + 3y  = 34
5x + y  = 37  | X3  →  15x + 3y = 111
                       ______________ -
                      -11x      = -77
                         x      = 7

Setelah kita mendapat nilai variabel x, kita akan mencari variabel y dengan cara yang tak jauh beda.

4x + 3y = 34  | X5  → 20x + 15y  = 170
5x + y  = 37  | X4  → 20x +  4y  = 148
                       ______________ -
                            11y  = 22
                              y  = 2

Jadi kita dapat bahwa nilai x = 7 dan y = 2

2. Metode Substitusi untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan metode substitusi, kita akan menggantikan salah satu variabel ke variabel lainnya sehingga terjadi persamaan linier satu variabel.

Contoh Soal:

Tentukan nilai c dan d dari persamaan dibawah ini dengan metode substitusi

4c + 3d = 31
c + d = 11

Jawab:

Dari soal tersebut kita ketahui bahwa persamaan kedua lebih sederhana dari pada persamaan pertama. Jadi kita akan mengubah persamaan kedua menjadi d = 11 - c. Kita harus memasukkan persamaan kedua ke persamaan pertama, perhatikan!

4c + 3(11 - c) = 31

4c +  33 - 3c  = 31

            c  = 31 - 33
            
            c  = -2

Setelah kita dapat nilai c, kita akan mencari nilai d dengan memasukkan nilai variabel c kedalam persamaan paling sederhana. Kita ambil persamaan kedua.

      c  +  d  = 11

    (-2) +  d  = 11

            d  = 11 + 2
            
            d  = 13

Jadi kita dapat bahwa nilai c = -2 dan d = 13

3. Metode Gabungan (Eliminasi dan Substitusi) untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier

Pada metode gabungan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel kita menyelesaikannya dengan menggabungkan antara metode eliminasi dan substitusi. Cara ini dinilai lebih mudah dan efisien ketimbang kita hanya menggunakan salah satu dari metode tersebut.

Contoh Soal:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel berikut dengan metode campuran!

4x + 12y = 28
2x + y = 21

Jawab :

4x + 2y = 28  | X1  →  4x +  2y = 28
2x + 6y = 54  | X2  →  4x + 12y = 108
                       ______________ -
                           -10y = -80
                              y = 8

Setelah kita menemukan y = 8, kita cari x dengan metode substitusi!

4x + 2y   = 28
4x + 2(8) = 28
4x + 16   = 28
     4x   = 28 - 16
     4x   = 12
      x   = 12/4
      x   = 3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 8)}

Contoh Soal 2

Budi membeli tiga pensil dan empat buku di toko Rana dengan harga Rp 11000,-. Jika Budi membeli lagi sebuah pensil dan tujuh buku ditoko yang sama dengan harga Rp 15000,-. Berapakah harga dua buah pensil dan enam buah buku jika Budi membeli kembali di toko Rana!

Jawab :

Pertama, kita ibaratkan bahwa pensil = y dan buku = z, sehingga persamaannya menjadi :

3y + 4z = 11000 ....... (I)
y + 7z = 15000 ....... (II)

3y + 4z = 11000  | X1  →  3y +  4z = 11000
 y + 7z = 15000  | X3  →  3y + 21z = 45000
                          ________________ -
                              -17z = -34000
                                 z = 2000

Setelah kita menemukan nilai z = 2000 sekarang kita cari nilai y dengan metode substitusi!

3y + 4z      = 11000
3y + 4(2000) = 11000
3y + 8000    = 11000
        3y   = 11000 - 8000
        3y   = 3000
         y   = 3000/3
         y   = 1000

Dan kita dapatkan harga masing-masing, yakni pensil/y = 1000 dan buku/z = 2000. Sekarang kita substitusikan kembali untuk memperoleh harga dua pensil dan enam buku (2y + 6y = ...?)!

     2y + 6z      = .....2(1000) + 6(2000) = .....
   2000 + 12000   = 14.000

Jadi harga dua pensil dan enam buku adalah Rp 14.000,-

Contoh Soal 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:
2x + 3y = 1
3x + y = 5

Penyelesaian:
Langkah pertama kita eleminasi variabel x

   2x + 3y = 1      |X 3 |     6x + 9y = 3
   3x + y = 5      |X 2 | 6x + 2y = 10
                                        ____________   _
                                                  7y = -7
                                                    y = -7 / 7
                                                    y = -1

Langkah berikutnya kita subtitusikan nilai y kesalah satu persamaan (cari yang paling cepat/sederhana)

   3x + y = 5
   3x – 1 = 5
3x = 5 + 1
            x = 6/3
x = 2

Maka Himpunan Penyelesaiannya adalah (x,y) = (-1,2).

4. Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel Metode Grafik

Seperti yang telah dijelaskan di awal, bahwa persamaan linear dua variabel merupakan persamaan garis lurus yang terdiri dari dua variabel atau peubah. Cara mencari solusinya bisa menggunakan metode grafik. Berikut ini contoh soal dan pembahasannya.

Langkah-langkah untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan metode grafik adalah sebagai berikut :

Tentukan titik potong garis dengan sumbu x, syaratnya y = 0
Tentukan titik potong garis dengan sumbu y, syaratnya x = 0
Kedua langkah ini dapat kita sederhanakan dengan tabel berikut ini

Gambar garis dari setiap persamaan
Menentukan titik potong kedua persamaan, yang merupakan hasilnya

Contoh Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel dengan metode grafik berikut ini:

3x + y = 15
x + y = 7

Jawab :

3x + y = 15

Titik potong dengan sumbu x, syarat y = 0.
3x + 0 = 15
x = 5.
Titik potong (5, 0)

Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0.
3(0) + y = 15
y = 15.
Titik potong (0, 15)

x + y = 7

Titik potong dengan sumbu X, syarat y = 0.
x + 0 = 7
x = 7.
Titik potong (7, 0)

Titik potong dengan sumbu Y, syarat x = 0.
0 + y = 7
y = 7.
Titik potong (0, 7)

Gambar Grafik

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah : {( 4,3 )}

Demikianlah postingan tentang contoh soal sistem Persamaan Linear Dua Variabel, semoga bermanfaat.
Jika ada pertanyaan atau hal-hal yang belum jelas silakan anda tuliskan di kolom komentar di bawah postingan ini.